作业帮设AB是圆O x^2+y^2=4的动弦,|AB|=2 定点C(c,0)(2)求c的值，使F与圆O恰有一个公共点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 05:43:53
设AB是圆O x^2+y^2=4的动弦,|AB|=2 定点C(c,0)(2)求c的值，使F与圆O恰有一个公共点
设AB是圆O x^2+y^2=4的动弦,|AB|=2 定点C(c,0)
(2)求c的值，使F与圆O恰有一个公共点
设AB是圆O x^2+y^2=4的动弦,|AB|=2 定点C(c,0)(2)求c的值，使F与圆O恰有一个公共点
设AB是园x²+y²=4的动弦,∣AB∣=2；定点C(c,0)和动点P满足向量和PA+PB+3PC=0；
(1)求点P的轨迹F；(2)求c的值,使F与园O恰有一个公共点.
解(1)∵∣AB∣=2=半径,∴△OAB是等边三角形,OA与OB的夹角是π/3,A,B在园上,故可设
A(2cost,2sint)；B(2cos(t+π/3),2sin(t+π/3))；P(x,y)；C(c,0)；
故PA=(2cost-x,2sint-y)；PB=(2cos(t+π/3)-x,2sin(t+π/3)-y)；PC=((c-x),-y)；
3PC=(3(c-x),-3y)；
由于PA+PB+3PC=0；故得：
(2cost-x)+[2cos(t+π/3)-x]+3(c-x)=3cost-(√3)sint+3c-5x=0
即有5x-3c=3cost-(√3)sint.(1)
(2sint-y)+[2sin(t+π/3)-y]-3y=3sint+(√3)cost-5y=0
即有5y=3sint+(√3)cost.(2)
由(1)得(5x-3c)²=9cos²t-6(√3)sintcost+3sin²t.(3)
由(2)得25y²=9sin²t+6(√3)sintcost+3cos²t.(4)
(3)+(4)得（5x-3c)²+25y²=9+3=12
即有[x-(3/5)c]²+y²=12/25.(5)
(5)式就是动点P的轨迹F的方程,这是一个以(3c/5,0)为园心,以(2/5)√3为半径的园.
(2)当2+(2/5)√3=3c/5,即c=(5/3)[2+(2/5)√3]=(2/3)(5+√3)；
或-2-(2/5)√3=3c/5,即c=(5/3)[-2-(2/5)√3]=-(2/3)(5+√3)；
也就是当c=±(2/3)(5+√3)时,轨迹F与园O相外切(即只有一个公共点).
或当2-(2/5)√3=3c/5,即c=(5/3)[2-(2/5)√3]=(2/3)(5-√3)
或当-2+(2/5)√3=3c/5,即c=-(5/3)[2-(2/5)√3]=-(2/3)(5-√3)
即当c=±(2/3)(5-√3)时,轨迹F与园O内切(即只有一个公共点).
我拿手数学哦
取AB中点M，OM⊥AB,
/AB/=4√3,R=4 ∴由勾股定理得：
OM=2
∵向量（ PA+PB+4PC）=0
向量PA+PB=2pM
向量 2PM=-4PC
∴PM=-2PC
∴P,M,C三点共线
向量CP=(1/3)CM
过P做PQ//OM交X轴于Q，...
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我拿手数学哦
取AB中点M，OM⊥AB,
/AB/=4√3,R=4 ∴由勾股定理得：
OM=2
∵向量（ PA+PB+4PC）=0
向量PA+PB=2pM
向量 2PM=-4PC
∴PM=-2PC
∴P,M,C三点共线
向量CP=(1/3)CM
过P做PQ//OM交X轴于Q，则
|PQ|=1/3|OM|=2/3,Q(2c/3,0)
∴点p的轨迹F是以Q为圆心
2/3为半径的圆方程为
(x-2c/3)²+y²=4/9
若F与圆O恰有一个公共点
则F与圆O相外切
则QO=14/3,|2c/3|=14/3 ,c=±7
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