作业帮抛物线y=1/2 x^上距A（0,a)（a>0)最近的点是原点,求a的取值范围,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 20:08:29
抛物线y=1/2 x^上距A（0,a)（a>0)最近的点是原点,求a的取值范围,
抛物线y=1/2 x^上距A（0,a)（a>0)最近的点是原点,求a的取值范围,
抛物线y=1/2 x^上距A（0,a)（a>0)最近的点是原点,求a的取值范围,
设抛物线上一点P的坐标为(x,y), 则
P点到A点距离L, L² = y²-2ay+a²+2y
合并整理后得到: L² = y² - 2(a-1)y + a² = [y-(a-1)]² + a² - (a-1)²
令Z=L²,则
整理后的方程,可看作Z关于自变量y的二次函数, 即函数是抛物线关系,
其对称轴是y=a-1
因为到A点的距离最近点是原点, 并且L²≥0
所以,
a-1≤0,即 a ≤ 1
又根据题意a>0,故
0＜a≤1
我有点笨，百思求得一解，想必可行。思路：以A（0，a） 为圆心，a为半径作圆，必与抛物线有交点。不过依a的大小交点有一个或三个。取有一个交点的圆的半径即是a的取值范围。依此思路，得圆的方程xx+（y-a)(y-a)=aa，即xx+yy-2ay=0。解方程组
y=xx/2， ①
xx+yy-2ay=0。②
把①代入②得xxxx/4+(1-a)xx=0，xxx...
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我有点笨，百思求得一解，想必可行。思路：以A（0，a） 为圆心，a为半径作圆，必与抛物线有交点。不过依a的大小交点有一个或三个。取有一个交点的圆的半径即是a的取值范围。依此思路，得圆的方程xx+（y-a)(y-a)=aa，即xx+yy-2ay=0。解方程组
y=xx/2， ①
xx+yy-2ay=0。②
把①代入②得xxxx/4+(1-a)xx=0，xxxx+(4-4a)xx=0，因为xx为实数，若圆与抛物线只有一个交点，则1-a=0，解得xx=2(1-a)。又x为实数，所以1-a≥0，解得a≤1。又a＞0，所以0＜a≤1。（注：xx表示x的平方）
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∵抛物线y=1/2 x^2上距A（0，a)（a>0)最近的点是原点
∴以A（0，a)为圆心半径为a的园与抛物线相切时，半径最大。
圆的方程：x^2+(y-a)^2=0.……（1）与抛物线y=1/2 x^2……（2）只有一个交点。
由（1）（2）得到y^2+2(1-a)y=0，Δ=0得到a=1。
∵a>0，∴0＜a≤1...
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∵抛物线y=1/2 x^2上距A（0，a)（a>0)最近的点是原点
∴以A（0，a)为圆心半径为a的园与抛物线相切时，半径最大。
圆的方程：x^2+(y-a)^2=0.……（1）与抛物线y=1/2 x^2……（2）只有一个交点。
由（1）（2）得到y^2+2(1-a)y=0，Δ=0得到a=1。
∵a>0，∴0＜a≤1
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可设点P(2t,2t²)是抛物线x²=2y上的任意一点，则|PA|²=(2t-0)²+(2t²-a)²=[2t²-(a-1)]²+(2a-1).由题设可知，仅当t=0时，函数f(t)=[2t²-(a-1)]²+(2a-1)取得最小值，这就要求对称轴x=a-1≤0.∴a≤1,又a＞0.∴0＜a≤1.