作业帮如图,○O半径为根号17,AB为直径,M、N为圆上两点,M、N在AB同侧,AM、BN交于P,则AP·AM+BP·BN=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 13:05:08
如图,○O半径为根号17,AB为直径,M、N为圆上两点,M、N在AB同侧,AM、BN交于P,则AP·AM+BP·BN=?
如图,○O半径为根号17,AB为直径,M、N为圆上两点,M、N在AB同侧,AM、BN交于P,则AP·AM+BP·BN=?
如图,○O半径为根号17,AB为直径,M、N为圆上两点,M、N在AB同侧,AM、BN交于P,则AP·AM+BP·BN=?
分析：连接AN、BM,根据圆周角定理,由AB是直径,可证∠AMB=90°,由勾股定理知,BP 2 =MP 2 +BM 2 ,由相交弦定理知,AP•PM=BP•PN,原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP 2 +AP•PM+BP 2 +BP•PN=AP 2 +BP 2 +2AP•PM=AP 2 +MP 2 +BM 2 +2AP•PM=AP 2 +（AP+PM） 2 =AP 2 +AM 2 =AB 2 =36．
连接AN、BM,
∵AB是直径,
∴∠AMB=90°．
∴BP^2 =MP^2 +BM^2
∴AP•PM=BP•PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP 2 +AP•PM+BP^2 +BP•PN
=AP^2 +BP^2 +2AP•PM
=AP^2 +MP^2 +BM^2 +2AP•PM
=BM^2 +（AP+PM）^2 =BM^2+AM^2 =AB^2 =4*17=68．
连结AN、BM；过P作PC⊥AB交AB于C。
∵AB是⊙O的直径，∴AN⊥PN、BM⊥PM。
由PM⊥BM、PC⊥BC，得：C、B、M、P共圆，∴由割线定理，有：AP×AM＝AC×AB。
由PN⊥AN、PC⊥AC，得：C、A、N、P共圆，∴由割线定理，有：BP×BN＝BC×AB。
∴AP×AM＋BP×BN＝AC×AB＋BC×AB＝AB（AC＋BC）＝AB×AB＝（2...
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连结AN、BM；过P作PC⊥AB交AB于C。
∵AB是⊙O的直径，∴AN⊥PN、BM⊥PM。
由PM⊥BM、PC⊥BC，得：C、B、M、P共圆，∴由割线定理，有：AP×AM＝AC×AB。
由PN⊥AN、PC⊥AC，得：C、A、N、P共圆，∴由割线定理，有：BP×BN＝BC×AB。
∴AP×AM＋BP×BN＝AC×AB＋BC×AB＝AB（AC＋BC）＝AB×AB＝（2√17）^2＝68。
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